전항력
지구가 자전하기 때문에 산, 대륙, 바다 그리고 대기도 지구와 함께 자전합니다. 따라서 대기와 해양의 운동은 지구와 함께 자전하는 회전 좌표계로 기술하면 간단하게 표현됩니다.
관성 좌표계에 대하여 관성 운동을 하는 물체를 회전 좌표계에서 관측한다면 아래 그림과 같이 그 경로가 휘어져 보일 것입니다.
따라서 관성운동 중인 물체를 직선 경로로부터 전향시키는 겉보기 힘이 있습니다. 위의 그림에서 나타나듯 운동 경로는 회전 좌표계의 회전 방향의 반대 방향으로 휘어져 나타납니다. 이때 작용하는 힘이 전향력입니다.
이 전향력에 대하여 동서 방향으로 움직이는 경우와 남북 방향으로 움직이는 경우에 대하여 어떻게 나타나는지 살펴보겠습니다.
회전 좌표계에서의 기준 축은 동서 방향과 남북 방향의 두 축을 사용합니다. 동서방향의 경우 동쪽을 +로 서쪽을 -로 하며 거리와 속도는 각각 x와 u로 표현합니다. 남북방향의 경우는 북쪽이 +이며, 거리와 속도는 y와 v로 표시합니다.
첫 번째, 동서 방향으로 움직이는 경우
어떤 물체가 지구에 대하여 정지해 있다고 가정하겠습니다. 이 물체에는 만유인력과 지구 자전에 의한 원심력이 작용하게 되고, 이 두 힘의 합력이 중력으로 작용합니다.
만약 이 물체가 동쪽으로 움직인다면 이 물체는 지구보다 더 빠르게 회전하므로 원심력이 증가할 것이고 서쪽으로 움직인다면 원심력은 감소할 것입니다. 이런 원심력의 변화로 전향력이 나타나게 됩니다.
위도 Φ인 곳에서 동쪽으로 u의 속도로 이동하는 물체의 총 원심력은 다음과 같습니다.
(Ω + u/R)^2 * R = Ω^2 x R + 2 x Ω x u + u^2/R
여기서 Ω는 지구 자전 각속도이고, R 은 지구 자전축까지의 거리입니다.
위 식의 오른쪽 첫 번째 항은 이 물체가 지구와 함께 자전함으로써 생겨난 원심력입이다. 나머지 두 항 모두 전향력이지만 대기나 해양의 운동에 있어서 u << Ω x R이기 때문에 마지막 항은 무시하고 두 번째 항만 고려합니다.
전향력의 방향은 원심력의 방향과 마찬가지로 자전축의 수직 방향으로 작용합니다. 이 전향력을 연직방향과 남북방향의 성분으로 각각 나눌 수 있습니다.
결국 동서방향의 운동은 남북방향과 연직방향으로 가속도를 일으키는데 그 각각은 다음과 같습니다.
(du/dt)Co = -2 x Ω x u x sinΦ, (dw/dt)Co = 2 x Ω x u x cosΦ
여기서 아래 첨자 Co는 전향력에 의해 생겨난 가속도를 의미합니다.
북반구에서 동쪽으로 움직이는 물체는 전향력의 수평 성분에 의해 남쪽으로 전향되고, 서쪽으로 움직이는 물체는 북쪽으로 전향됩니다. 어느 경우든 움직이는 방향의 오른쪽으로 전향됩니다.
전향력의 연직 성분에 의해서는 동쪽으로 움직이면 무게가 줄어들고 서쪽으로 움직이면 무게가 늘어납니다. 그러나 이 힘은 만유인력에 비해 매우 작으므로 큰 변화는 일으키지 못합니다.
관성 좌표계에서 보면 비행기가 이동하는 동안 지구가 자전하기 때문에 비행기는 목적지보다 오른쪽을 향하게 되는데 회전 좌표계에서 보면 힘을 받아 오른쪽으로 편향한 것으로 나타납니다.
두 번째, 남북 방향으로 운동하는 경우
이번에는 물체가 남북방향으로 움직이는 물체의 전향력에 대하여 알아보겠습니다. 만약 어떤 물체가 적도 쪽으로 움직이는 경우, 각 운동량이 보존되어야 하므로 자전축까지의 거리 R 커짐에 따라 상대적으로 서쪽 방향의 속도 δu(서쪽 방향이므로 δu < 0임)가 생겨납니다.
따라서 물체가 위도 Φ0에서 Φ0 + δΦ로 이동할 때(남쪽으로 움직이는 경우이므로 δΦ < 0임) 자전축까지의 거리 변화를 δR 라고 하면 각 운동량 보존에 의하여 다음과 같이 됩니다.
Ω x R^2 = { Ω + δu / ( R + δR ) } x ( R + δR )^2
여기서 δu는 물체가 위도 Φ0 + δΦ로 이동하였을 때 동서방향으로 향하는 상대 속도입니다.
위 식을 전개하여 2차 미분항을 무시하면 du = -2 x Ω x dR = 2 x Ω x RE x δΦ x sinΦ0가 됩니다.
여기서 dR 은 dR = -RE x δΦ x sinΦ0입니다.
위 식에서 남북으로 움직이는 경우에는 동서방향으로의 속도 변화 δu가 생겨난다는 것을 알 수 있습니다. δu 를 시간 변화인 δt로 나누고 δt를 0에 가깝도록 극한을 취하면 물체가 남북으로 움직였을 때의 가속도가 다음과 같이 구해집니다.
( du / dt )Co = 2 x Ω x RE x δΦ / dt x sinΦ0 = 2 x Ω x v x sinΦ
위 식에서 v가 +인 경우(북쪽으로 움직이는 경우), 왼쪽 항도 +로 나옵니다. 즉 동쪽으로 향하는 가속도가 생겨납니다.
결국 지구상에서 수평 이동하는 물체는 북반구에서는 오른쪽으로 전향합니다. 이는 지구가 자전하기 때문에 나타나는 현상으로 자전 주기와 비교하여 짧은 시간에 이루어지는 운동의 경우는 무시할 수 있습니다.